\chapter{GVAR}
	一个GVAR就是用一系列国家的VARX$ ^* $估计出来后，再堆叠起来以形成脉冲响应等。
	\section{VARX$ ^* $}
	\subsection{模型的写法}
	考虑一个VARX$ ^* $(1,1),
	\[ \bm{x}_{it}=\bm{\Phi}_{i}\bm{x}_{i,t-1}+\bm{\Lambda}_{i0}\bm{ x}_{it}^*+\bm{\Lambda}_{i1}\bm{x}_{it-1}^* +\bm{u}_{it}\]
	其中，
	\begin{itemize}
		\item $ \bm{x}_{it} $是一个$ k_i\times 1 $的国内变量；
		\item $ \bm{x}_{it}^* $是一个$ k_i^*\times 1 $的国外变量: $ \bm{x}_{it}^*=\sum_{j=0}^{N}w_{ij}x_{jt},w_{ii}=0 $；
	\end{itemize}
	这里，$ w_{ij} $是一个权重矩阵，且$ \sum_{j=0}^N w_{ij}=1$。$\bm{u}_{it} $是截面弱相关，
	\subsection{权重的构造}
	通常使用贸易权重，当然，其他权重也是可以的。$ w_{ij} $是$ j $国在$ i $国贸易（包括进出口）中的比例。
	
	\subsection{弱外生性检验}
	协整背景下的弱外生假设指的是$ \bm{x}_{it}$对$ \bm{x}_{it}^* $没有长期反馈，但是两个变量可以存在滞后的短期反馈。
	\begin{itemize}
		\item 所谓没有长期反馈指的是VECMX模型的误差修正项没有进入$ \bm{x}_{it}^* $的边缘（marginal）模型。
	\end{itemize}
	那么检验要做的就是考察误差修正项在模型中的联合显著性，譬如对于$\bm{x}_[it]^*$中的第$ \ell $个变量，
	\[ \Delta x_{it,\ell}^*=a_{i\ell}+\sum_{j=1}^{r_i}\delta_{ij,\ell}\widehat{ECM}_{ij,t-1}+\sum_{s=1}^{p_i^*}\phi'_{is,\ell}\Delta \bm{x}_{i,t-s} +\sum_{s=1}^{q_i^*}\psi'_{is,\ell}\Delta \bm{\tilde x}_{i,t-s}^*+\eta_{it,\ell}\]
	
	就是检查$ \delta_{ij,\ell} $的联合显著性。
	\subsection{VARX$ ^* $的估计}
	考虑一个$ i $国VARX$^*$(2,2)模型，
	\[ \bm{x}_{it}=\bm{a}_{i0}+\bm{a}_{i1}t+\bm{\Phi}_{i1}\bm{x}_{i,t-1}+\bm{\Phi}_{i2}\bm{x}_{i,t-2}+ \bm{\Lambda}_{i0}\bm{x}_{it}^*+\bm{\Lambda}_{i1}\bm{x}_{it-1}^* +\bm{\Lambda}_{i2}\bm{x}_{i,t-2}^*+\bm{u}_{it} \]
	
	上式用$\bm{z}_{it}=(\bm{x}'_{it},\bm{x}_{it}^{'*})'  $做一个替换，然后写成误差修正形式，
	\[ \Delta \bm{x}_{it}=\bm{c}_{i0} -\bm{\alpha}_i\bm{\beta}'_i[\bm{z}_{i,t-1}-\gamma_i(t-1)]+\bm{\Lambda_{i0}}\Delta \bm{x}_{it}^*+\bm{\Gamma}_i\Delta \bm{z}_{i,t-1}+\bm{u}_{it} \]
	
	其中，$ \bm{\alpha}_i,\bm{\beta}_i $分别是$ k_i\times r_i\text{和}(k_i+k_i^*)\times r_i $的秩均为$ r_i $的矩阵。关于误差修正模型的一般估计方法都可以用进来，只是对每个国家$ i $单独估计一个VARX$^*$。
	
	
	\section{GVAR的基本框架}
	\subsection{GVAR的构造}
	$ i $国的VARX$ ^*(p_i,q_i) $模型可以写为，
	\begin{equation}\label{gvar1}
	 \bm{x}_{it}=\bm{a}_{i0}+\bm{a}_{i1}t+\bm{\Phi}_{i1}\bm{x}_{i,t-1}+\cdots+\bm{\Phi}_{ip_i}\bm{x}_{i,t-p_i}+ \bm{\Lambda}_{i0}\bm{x}_{it}^*+\bm{\Lambda}_{i1}\bm{x}_{it-1}^* +\cdots+\bm{\Lambda}_{iq_i}\bm{x}_{i,t-q_i}^*+\bm{u}_{it}
	\end{equation}
	
	
	如果令
	\[ \bm{z}_{it}=\begin{pmatrix}
	\bm{x}_{it}\\\bm{x}_{it}^*
	\end{pmatrix} \]
	那么，\eqref{gvar1}式可以重写为，
	\[ \bm{A}_{i0}\bm{z}_{it}= \bm{a}_{i0}+\bm{a}_{i1}t+\bm{A}_{i1}\bm{z}_{i,t-1}+\cdots+\bm{A}_{ip_i}\bm{z}_{i,t-p_i}+\bm{u}_{it}\]
	
	其中，
	\begin{align*}
	\bm{A}_{i0}=(\bm{I}_{k_i},-\bm{\Lambda}_{i0})\\
	\bm{A}_{ij}=(\bm{\Phi}_{ij},\bm{\Lambda}_{ij})
	\end{align*}
	
	然后可以用一个连接矩阵（也是用贸易权重$ w_{ij} $构造的）获得等式，
	\[ \bm{z}_{it}=\bm{W}_i\bm{x}_t \]

	其中，$ \bm{x}_t=(\bm{x}'_{0t},\bm{x}'_{1t},\cdots,\bm{x}'_{Nt}) $，是个$ k\times 1 $的向量，$ k=\sum_{i=0}^{N}k_i  $，系统所有的内生变量都在里头。$ \bm{W}_i $是一个$ (k_i+k_i^*)\times k $的矩阵（细节见\ref{s1}节）。
	
	那么用$ \bm{z}_{it} $与$ \bm{x}_t $的关系，做一个替换，就有，
	\[ \bm{A}_{i0}\bm{W}_{i}\bm{x}_t= \bm{a}_{i0}+\bm{a}_{i1}t+\bm{A}_{i1}\bm{W}_i\bm{x}_{t-1}+\cdots+\bm{A}_{ip_i}\bm{W}_i\bm{x}_{t-p_i}+\bm{u}_{it}\]
	
	然后把上述单个国家的模型做一个堆叠，就有，
	\begin{equation}\label{gvar2}
	\bm{G}_0\bm{x}_t= \bm{a}_0+\bm{a}_1t+\bm{G}_1\bm{x}_{t-1}+\cdots+\bm{G}_p\bm{x}_{t-p}+\bm{u}_t
	\end{equation}
	
	
	其中，
	\[ \bm{G}_0=\begin{pmatrix}
	\bm{A}_{00}\bm{W}_0\\
		\bm{A}_{10}\bm{W}_1\\
	\vdots\\
		\bm{A}_{N0}\bm{W}_N\\	
	\end{pmatrix},\bm{G}_j=\begin{pmatrix}
	\bm{A}_{0j}\bm{W}_0\\
	\bm{A}_{1j}\bm{W}_1\\
	\vdots\\
	\bm{A}_{Nj}\bm{W}_N\\	
	\end{pmatrix},j=1,\cdots,p.\qquad\bm{a}_0=\begin{pmatrix}
	\bm{a}_{00}\\\bm{a}_{10}\\\vdots\\\bm{a}_{N0}
	\end{pmatrix},\bm{a}_0=\begin{pmatrix}
	\bm{a}_{01}\\\bm{a}_{11}\\\vdots\\\bm{a}_{N1}
	\end{pmatrix},\bm{u}_t=\begin{pmatrix}
	\bm{u}_{0t}\\\bm{u}_{1t}\\\vdots\\\bm{u}_{Nt}
	\end{pmatrix} \]
	
	注意，$ p=\max p_i $，一般是$ p=\max (p_i,q_i) $。而且，$ \bm{G}_0 $是已知的可逆矩阵，那么可以对\eqref{gvar2}式左乘$ \bm{G}_0^{-1} $而得到，
	\begin{equation}\label{gvar3}
	 \bm{x}_t= \bm{b}_0+\bm{b}_1t+\bm{F}_1\bm{x}_{t-1}+\cdots+\bm{F}_p\bm{x}_{t-p}+\bm{\varepsilon}_t
	\end{equation}
	
	
	其中，$ \bm{b}_0=\bm{G}_0^{-1}\bm{a}_0 ,\bm{b}_1=\bm{G}_0^{-1}\bm{a}_1,\bm{F}_j=\bm{G}_0^{-1}\bm{G}_j,j=1,\cdots,p,\bm{\varepsilon}_t=\bm{G}_0^{-1}\bm{u}_t$。
	
	
	\subsection{一个连接矩阵的例子}\label{s1}
	考虑一个3个国家3个变量（产出，通胀和汇率：$ y,\Delta p,e $）的GVAR，那么有(注意，\textbf{$ 0 $国没有汇率指标，1国、2国的外国指标也没有汇率})，
	\[ \bm{x}_t=\begin{pmatrix}
	\bm{x}_{0t}\\	\bm{x}_{1t}\\ 	\bm{x}_{2t}
	\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
	y_{0t}\\\Delta p_{0t}\\ y_{1t}\\ \Delta p_{1t}\\ e_{1t}\\y_{2t}\\ \Delta p_{2t}\\ e_{2t}
	\end{pmatrix}, \bm{z}_{0t}=\begin{pmatrix}
	y_{0t}\\\Delta p_{0t}\\	y_{0t}^*\\\Delta p_{0t}^*\\e_{0t}^*
	\end{pmatrix},\bm{z}_{it}=\begin{pmatrix}
	y_{it}\\\Delta p_{it}\\e_{it}\\	y_{0t}^*\\\Delta p_{0t}^*\end{pmatrix},i=1,2 \]
	国外变量计算如下，
	\[ y_{it}^*=\sum_{j=0}^2w_{ij}y_{jt},\Delta p_{it}^*=\sum_{j=0}^2w_{ij}\Delta p_{jt},e_{0t}^*=w_{01}e_{1t}+w_{02}e_{2t} \]
	
	再来看连接矩阵$ \bm{W}_i $,其维度为$ (k_i+k_i^*)\times k $，$ k_i,k_i^* $分别是国内和国外变量的个数，$ k=\sum_{i=0}^{N}k_i $，这样的话，对于本例而言，$ \bm{W}_i $就是个$ 5\times 8 $的矩阵，具体为，
	\[ \bm{W}_0=\begin{pmatrix}
	1&0&0&0&0&0&0&0\\
	0&1&0&0&0&0&0&0\\
	0&0&w_{01}&0&0&w_{02}&0&0\\
	0&0&0&w_{01}&0&0&w_{02}&0\\
	0&0&0&0&w_{01}&0&0&w_{02}\\
	\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
	\bm{I}_2& \bm{0}&\bm{0}\\
	\bm{0}&w_{01}\bm{I}_3&w_{02}\bm{I}_3	\end{pmatrix}, \]
	\[ \bm{W}_1= \begin{pmatrix}
	0&0&1&0&0&0&0&0\\
	0&0&0&1&0&0&0&0\\
	0&0&0&0&1&0&0&0\\
	w_{10}&0&0&0&0&w_{12}&0&0\\
	0&w_{10}&0&0&0&0&w_{12}&0\\
	\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
	\bm{0}&\bm{I}_3&\bm{0}&\bm{0}\\
	w_{10}\bm{I}_2&\bm{0}&w_{12}\bm{I}_2&\bm{0}
	\end{pmatrix}\]
\subsection{带全局变量时的构造}
假设$ \bm{\omega}_t $是源自美国模型中的一个内生变量向量，可令其维度为$ k_g\times 1 $，该内生变量向量以外生变量的形式进入其他国家的VARX模型，
	\begin{align*}
\bm{x}_{it}=&\bm{a}_{i0}+\bm{a}_{i1}t+\bm{\Phi}_{i1}\bm{x}_{i,t-1}+\cdots+\bm{\Phi}_{ip_i}\bm{x}_{i,t-p_i}+ \bm{\Lambda}_{i0}\bm{x}_{it}^*+\bm{\Lambda}_{i1}\bm{x}_{it-1}^* +\cdots+\bm{\Lambda}_{iq_i}\bm{x}_{i,t-q_i}^*+\\
&\bm{\Psi}_{i0}\bm{\omega}_t+\bm{\Psi}_{i1}\bm{\omega}_{t-1}+\cdots+\bm{\Psi}_{iq_i}\bm{\omega}_{t-q_i}+\bm{u}_{it} 
\end{align*}

	根据前面的熟悉的替换方式，
\begin{align*}
&\bm{x}_t=(\bm{x}'_{0t},\bm{x}'_{1t},\cdots,\bm{x}'_{Nt})'\\
&\bm{z}_{it}=\bm{W}_i\bm{x}_t=(\bm{x}'_{it},\bm{x}^{*'}_{it},\bm{\omega}'_t)'
\end{align*}

 可以得到如下等式（为简化，假设$ p_i=q_i $），
\begin{align*}
\bm{G}_{i0}\bm{z}_{it}=&\bm{a}_{i0}+\bm{a}_{i1}t+ \bm{G}_{i1}\bm{z}_{i,t-1}+\cdots+\bm{G}_{ip_i}\bm{z}_{i,t-p_i}+\bm{u}_{it}
\end{align*}
其中，$ \bm{G}_{i0}=(\bm{I}_{k_i},-\bm{\Lambda}_{i0},-\bm{\Psi}_{i0}),\bm{G}_{ij}=(\bm{\Phi}_{ij},\bm{\Lambda}_{ij},\bm{\Psi}_{ij}),j=1,\cdots,p_i $。也可以写成，
\begin{align}
\bm{G}_{i0}\bm{W}_{i}\bm{x}_t=&\bm{a}_{i0}+\bm{a}_{i1}t+ \bm{G}_{i1}\bm{W}_{i}\bm{x}_{t-1}+\cdots+\bm{G}_{ip_i}\bm{W}_{i}\bm{x}_{t-p_i}+\bm{u}_{it}
\end{align}

	然后类似地，把上述单个国家的模型做一个堆叠，就有，
\begin{equation}\label{glb1}
\bm{G}_0\bm{x}_t= \bm{a}_0+\bm{a}_1t+\bm{G}_1\bm{x}_{t-1}+\cdots+\bm{G}_p\bm{x}_{t-p}+\bm{u}_t
\end{equation}

其中，
\[ \bm{G}_0=\begin{pmatrix}
\bm{G}_{00}\bm{W}_0\\
\bm{G}_{10}\bm{W}_1\\
\vdots\\
\bm{G}_{N0}\bm{W}_N\\	
\end{pmatrix},\bm{G}_j=\begin{pmatrix}
\bm{G}_{0j}\bm{W}_0\\
\bm{G}_{1j}\bm{W}_1\\
\vdots\\
\bm{G}_{Nj}\bm{W}_N\\	
\end{pmatrix},j=1,\cdots,p.\qquad\bm{a}_0=\begin{pmatrix}
\bm{a}_{00}\\\bm{a}_{10}\\\vdots\\\bm{a}_{N0}
\end{pmatrix},\bm{a}_0=\begin{pmatrix}
\bm{a}_{01}\\\bm{a}_{11}\\\vdots\\\bm{a}_{N1}
\end{pmatrix},\bm{u}_t=\begin{pmatrix}
\bm{u}_{0t}\\\bm{u}_{1t}\\\vdots\\\bm{u}_{Nt}
\end{pmatrix} \]

然后，对\eqref{glb1}式左乘$ \bm{G}_0 $，就有，
\[  \bm{x}_t= \bm{b}_0+\bm{b}_1t+\bm{F}_1\bm{x}_{t-1}+\cdots+\bm{F}_p\bm{x}_{t-p}+\bm{\varepsilon}_t \]

	其中，$ \bm{b}_0=\bm{G}_0^{-1}\bm{a}_0 ,\bm{b}_1=\bm{G}_0^{-1}\bm{a}_1,\bm{F}_j=\bm{G}_0^{-1}\bm{G}_j,j=1,\cdots,p,\bm{\varepsilon}_t=\bm{G}_0^{-1}\bm{u}_t$。


\subsection{特征值和特征向量}
	仿照Hamilon(1999)对时间模型的分析，将一个AR(p)写成一个AR(1)的形式，那么\eqref{gvar3}式可以写为，
	\[ \begin{pmatrix}
	\bm{x}_t\\
	\bm{x}_{t-1}\\
	\vdots\\
	\vdots\\
	\bm{x}_{t-p+1}
	\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
	\bm{F}_1&\bm{F}_2&\cdots& 	\bm{F}_{p-1}&	\bm{F}_p\\
	\bm{I}_k&\bm{0}&\cdots&\bm{0}&\bm{0}\\
	\bm{0}&\bm{I}_k&\cdots&\bm{0}&\bm{0}\\
	\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
	\bm{0}&\bm{0}&\cdots&\bm{I}_k&\bm{0}\\
	\end{pmatrix}\begin{pmatrix}	
	\bm{x}_{t-1}\\
	\bm{x}_{t-2}\\
	\vdots\\
	\vdots\\
	\bm{x}_{t-p}
	\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
	\bm{\varepsilon}_t\\\bm{0}\\\vdots\\\vdots\\\bm{0}
	\end{pmatrix} \]
	\subsection{持续性特征（Persistence Profiles）}	
持续性特征描述的是一个冲击对协整关系的作用，提供的是协整关系返回到均衡状态的速度的信息。具体地，可以把\eqref{gvar3}式写成一个移动平均形式如下，
	\begin{equation}\label{gvar4}
	 \bm{x}_t=\bm{d}_t+\sum_{s=0}^{\infty}\bm{A}_s\bm{\varepsilon}_{t-s}
	\end{equation}
	 	
	其中$ \bm{d}_t $是$ \bm{x}_t $的决定项部分，而$ \bm{A}_s $是可以通过如下递归而得到的，
	\[ \bm{A}_s=\bm{F}_1\bm{A}_{s-1}+\bm{F}_2\bm{A}_{s-2}+\cdots+\bm{F}_p\bm{A}_{s-p},s=1,2,\cdots \]
	
	其中初值$ \bm{A}_0=\bm{I}_m,\bm{A}_s=0,s <0 $。然后将\eqref{gvar4}式两边左乘$ \bm{W}_i $，则有，
	\[  \bm{W}_i\bm{x}_t=\bm{z}_{it}=\bm{W}_i\bm{d}_t+\bm{W}_i\bm{A}_0\bm{\varepsilon}_t+\sum_{s=1}^{\infty}\bm{W}_i\bm{A}_s\bm{\varepsilon}_{t-s} \]
	
	此时对于$ \bm{\varepsilon}_t $的一个冲击，$ i $国的第$ j $个协整关系$ \bm{\beta}'_{ji}\bm{z}_{it},j=1,2,\cdots,r_i $的反应为，
	\[ \mathcal{PP}(\bm{\beta}'_{ji}\bm{z}_{it};\bm{\varepsilon}_t,n)=\frac{\bm{\beta}'_{ji}\bm{W}_i\bm{A}_n\bm{\Sigma}_{\varepsilon}\bm{A}'_n\bm{W}'_i\bm{\beta}_{ji}}{\bm{\beta}'_{ji}\bm{W}_i\bm{A}_0\bm{\Sigma}_{\varepsilon}\bm{A}'_0\bm{W}'_i\bm{\beta}_{ji}} ,n=0,1,2,\cdots\]
	
	其中，
	\subsection{IRF}
	根据\eqref{gvar2}式的表述，广义脉冲的定义为，
	\[ \mathcal{GIRF}(\bm{x}_t;u_{i\ell t},n)=E(\bm{x}_{t+n}|u_{i\ell t}=\sqrt{\sigma_{ii,\ell\ell}},\mathcal{I}_{t-1})-E(\bm{x}_{t+n}|\mathcal{I}_{t-1}) \]
	
	若$ \bm{\Sigma}_u $是$ \bm{u} $的方差协方差矩阵，$ \sigma_{ii,\ell\ell} $是该矩阵中的对角元素，相应于第$ i $个国家的第$ \ell $个变量。$ n $预测的时期数。若$ \bm{u}_t $是一个多元正态分布，那么$ t $期第$ \ell $个方程对第$ j $个变量一个标准差冲击，第$ j $个变量的脉冲响应为，
	\[ \mathcal{GIRF}(\bm{x}_t;mu_{\ell t},n)=\frac{\bm{\ell}'_j\bm{A}_n\bm{G}_0^{-1}\bm{\Sigma}_u\bm{\ell}_{\ell}}{\sqrt{\bm{\ell}'_{\ell}\bm{\Sigma}_u\bm{\ell}_\ell}},\qquad n=0,1,\cdots,;\quad \ell ,j =1,2,\cdots,k \]
	
	其中，$ \bm{\ell}_\ell=(0,0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)' $是一个$ k\times 1 $的向量，其中第$ \ell $个元素为1。
	\subsection{FEVD}
	\subsection{bootstrap}
	
	\subsection{方差协方差矩阵的计算}
	如果$ k >T$，那么方差协方差矩阵不可能正定，那就不能做乔利斯基分解，也就不能进行自助抽样。如何处理这个问题？Bailey, Pesaran and Smith (2014)提出了一种方式。
	
	样本协方差的估计值为，
	\[ \hat{\bm{\Sigma}}_u=T^{-1}\sum_{t=1}^T\hat{\bm{u}}_t\hat{\bm{u}}'_t=(\sigma)_{ij} \]
	然后令，
	\[ \hat{\bm{D}}=diag(\hat{\bm{\Sigma}}_u) \]
	
$ \hat{\bm{D}} $表示对角元素与$ \hat{\bm{\Sigma}}_u $相同，其他元素为0的对角矩阵。那么，相关矩阵就可以写为，
\[ \hat{\bm{R}}_u=\hat{\bm{D}}^{-1/2}\hat{\bm{\Sigma}}_u\hat{\bm{D}}^{-1/2}=(\rho_{ij}) \]

那么基于相关矩阵的缩减(shrinkage)估计量为，
\[ \widetilde{\bm{R}}_u(\lambda)=\lambda \bm{I}_N+(1-\lambda)\hat{\bm{R}}_u \]

对于$ \lambda $的最优选择为，
\[ \hat\lambda^*=1-\frac{\sum\sum_{i\ne j}\hat \rho_{ij}\left[\hat\rho_{ij}-\frac{\hat\rho_{ij}(1-\hat\rho_{ij}^2)}{2T}\right]}{\frac{1}{T}\sum\sum_{i\ne j}(1-\hat\rho_{ij}^2)^2+\sum\sum_{i\ne j}\left[\hat\rho_{ij}-\frac{\hat\rho_{ij}(1-\hat\rho_{ij}^2)}{2T}\right]^2} \]

这样，缩减协方差就可以如下估计，
\[ \widetilde{\bm{\Sigma}}_u=\hat{\bm{D}}^{1/2}\widetilde{\bm{R}}_u(\hat\lambda^*)\hat{\bm{D}}^{1/2} \]

	\section{包含一个主导单元的GVAR}
	Chudik and Pesaran (2013)是关于主导单元的理论文献。主导单元的变量用一个$ m_{\omega}\times 1 $的向量$ \bm{\omega}_t $标记.。
	\begin{itemize}
		\item 主导单元的模型：只包含主导单元的滞后变量。
		\item 非主导单元的模型：包含当前以及滞后的主导单元变量，再加上外国变量$ \bm{x}_{it}^* $。另外，如果主导单元变量在统计上是不显著的，则不会包含在非主导单元的模型中。
	\end{itemize}	
	\subsection{主导单元的建模}
	考虑两种情况，一种是不包含GVAR其他部分的反馈。一种是包含。\textbf{不包含反馈的主导单元模型}可以书写如下，
	\[ \bm{\omega}_t=\bm{\mu}_0+\bm{\mu}_1t+\bm{\Phi}_1\bm{\omega}_{t-1} +\cdots+\bm{\Phi}_{p_{\omega}}\bm{\omega}_{t-p_{\omega}}+\bm{\eta}_t\]
	
	以信息准则选择滞后$ p_{\omega} $。若$ \bm{\omega}_t $是I(1)变量，且存在协整，则可按误差修正模型来估计，如，
	\[ \Delta\bm{\omega}_t=\bm{c}-\bm{\alpha}_{\omega}\bm{\beta}'_\omega[\bm{\omega}_{t-1}-\bm{\kappa}(t-1)]+\sum_{j=1}^{p_{\omega}-1}\bm{\Gamma}_j\Delta \bm{\omega}_{t-j} +\bm{\eta}_t \]
	
	\textbf{另一种方式是包含GVAR中其他的反馈效应}。
	\[ \Delta\bm{\omega}_t=\bm{c}-\bm{\alpha}_{\omega}\bm{\beta}'_\omega[\bm{\omega}_{t-1}-\bm{\kappa}(t-1)]+\sum_{j=1}^{\widetilde{p}-1}\bm{\Gamma}_j\Delta \bm{\omega}_{t-j} +\sum_{j=1}^{\widetilde{q}-1}\bm{\Theta}_j\Delta \widetilde{\bm{x}}_{t-j}+\bm{\eta}_t \]
	
	其中，$ \widetilde{\bm{x}}_t=\widetilde{\bm{W}}\bm{x}_t,\bm{x}_t$是非主导单元的$ k\times 1 $的变量，$ \widetilde{\bm{W}} $是$ m_{\widetilde{\bm{x}}}\times k $的权重矩阵，其中的元素用$ w_{is} $标记，$ s=1,\cdots,\max_i(k_i) $，即第$ i $个国家的第$ s $个变量。因此，$ \widetilde{x}_{st}=\sum_{i=0}^N w_{is}x_{ist} $，而且$ \sum_{i=0}^N=1 $，权重可以使用PPP-GDP权重。一旦估计完成，方程也可以写成，
	\begin{equation}\label{gvar_domi}
	 \bm{\omega}_t=\bm{\mu}_0+\bm{\mu}_1t+\bm{\Phi}_1\bm{\omega}_{t-1} +\cdots+\bm{\Phi}_{\widetilde{p}}\bm{\omega}_{t-\widetilde{p}}+\bm{\Lambda}_1\widetilde{\bm{x}}_{t-1}+\cdots+\bm{\Lambda}_{\widetilde{q}}\widetilde{\bm{x}}_{t-\widetilde{q}}+\bm{\eta}_t
	\end{equation}
	
	\subsection{非主导单元建模}
	考虑一个VARX$ ^*(p_i,q_i) $的$ i $国模型，
	\begin{align*}
	 \bm{x}_{it}=&\bm{a}_{i0}+\bm{a}_{i1}t+\bm{\Phi}_{i1}\bm{x}_{i,t-1}+\cdots+\bm{\Phi}_{ip_i}\bm{x}_{i,t-p_i}+ \bm{\Lambda}_{i0}\bm{x}_{it}^*+\bm{\Lambda}_{i1}\bm{x}_{it-1}^* +\cdots+\bm{\Lambda}_{iq_i}\bm{x}_{i,t-q_i}^*+\\
	 &\bm{\Psi}_{i0}\bm{\omega}_t+\bm{\Psi}_{i1}\bm{\omega}_{t-1}+\cdots+\bm{\Psi}_{iq_i}\bm{\omega}_{t-q_i}+\bm{u}_{it} 
	\end{align*}

	根据前面的熟悉的替换方式，
	\begin{align*}
	 &\bm{x}_t=(\bm{x}'_{0t},\bm{x}'_{1t},\cdots,\bm{x}'_{Nt})'\\
	 &\bm{z}_{it}=\bm{W}_i\bm{x}_t=(\bm{x}'_{it},\bm{x}^{*'}_{it})'
	\end{align*}
	 
	 可以得到如下等式（为简化，假设$ p_i=q_i $），
	 \begin{align*}
	  \bm{G}_{i0}\bm{z}_{it}=&\bm{a}_{i0}+\bm{a}_{i1}t+ \bm{G}_{i1}\bm{z}_{i,t-1}+\cdots+\bm{G}_{ip_i}\bm{z}_{i,t-p_i}+\\
	  &\bm{\Psi}_{i0}\bm{\omega}_{t}+\bm{\Psi}_{i1}\bm{\omega}_{t-1}+\cdots+\bm{\Psi}_{iq_i}\bm{\omega_{t-q_i}}+\bm{u}_{it}
	 \end{align*}
	其中，$ \bm{G}_{i0}=(\bm{I}_{k_i},-\bm{\Lambda}_{i0}),\bm{G}_{ij}=(\bm{\Phi}_{ij},\bm{\Lambda}_{ij}),j=1,\cdots,p_i $。也可以写成，
	 \begin{align}\label{w1}
	\bm{G}_{i0}\bm{W}_{i}\bm{x}_t=&\bm{a}_{i0}+\bm{a}_{i1}t+ \bm{G}_{i1}\bm{W}_{i}\bm{x}_{t-1}+\cdots+\bm{G}_{ip_i}\bm{W}_{i}\bm{x}_{t-p_i}+\\
	&\bm{\Psi}_{i0}\bm{\omega}_{t}+\bm{\Psi}_{i1}\bm{\omega}_{t-1}+\cdots+\bm{\Psi}_{iq_i}\bm{\omega_{t-q_i}}+\bm{u}_{it}
	\end{align}
	
	进一步，将非主导单元的单个模型堆叠，可以写成，
	\begin{equation}\label{gvar_nodomi}
\bm{G}_{0}\bm{x}_t=\bm{a}_{0}+\bm{a}_{1}t+ \bm{G}_{1}\bm{x}_{t-1}+\cdots+\bm{G}_{p}\bm{x}_{t-p}+\bm{\Psi}_{0}\bm{\omega}_{t}+\bm{\Psi}_{1}\bm{\omega}_{t-1}+\cdots+\bm{\Psi}_{q}\bm{\omega_{t-q}}+\bm{u}_{t}	
	\end{equation}

其中，
\[\bm{G}_{0}= \begin{pmatrix}
\bm{G}_{00}\bm{W}_0\\
\bm{G}_{10}\bm{W}_1\\
\vdots\\
\bm{G}_{N0}\bm{W}_N
\end{pmatrix},\bm{G}_j= \begin{pmatrix}
\bm{G}_{0j}\bm{W}_0\\
\bm{G}_{1j}\bm{W}_1\\
\vdots\\
\bm{G}_{Nj}\bm{W}_N
\end{pmatrix},j=1,2,\cdots,p\]
	\subsection{堆叠}
假设主导单元的误差项$ \bm{\eta}_t $与非主导单元的误差项$ \bm{u}_t $是不相关的，然后定义$ \bm{y}_t=(\bm{x}'_t,\bm{\omega}'_t)' $，再把主导单元\eqref{gvar_domi}式和非主导单元的\eqref{gvar_nodomi}式再叠在一起，并假设$ p=\widetilde{p}=\widetilde{q}=q $，然后有，
\[ \bm{H}_0\bm{y}_t=\bm{h}_0+\bm{h}_1t+\bm{H}_1\bm{y}_{t-1}+\cdots+\bm{H}_p\bm{y}_{t-p}+\bm{\zeta}_t \]

其中，
\[ \bm{H}_0=\begin{pmatrix}
\bm{G}_0&-\bm{\Psi}_0\\
\bm{0}_{m_\omega\times k}&\bm{I}_{m_\omega}
\end{pmatrix},\bm{h}_0=\begin{pmatrix}
\bm{a}_0\\\bm{\mu}_0
\end{pmatrix},\bm{h}_1=\begin{pmatrix}
\bm{a}_1\\\bm{\mu}_1
\end{pmatrix},\bm{H}_j=\begin{pmatrix}
\bm{G}_j&-\bm{\Psi}_j\\
\bm{\Lambda}_j\bm{W}_{j}&\bm{\Phi}_{j}
\end{pmatrix}, j=1,\cdots,p,\bm{\zeta}_t=\begin{pmatrix}
\bm{u}_t\\\bm{\eta}_t
\end{pmatrix}\]

也可以写成，
\begin{align*}
\bm{y}_t&=\bm{c}_0+\bm{c}_1t+\bm{C}_1\bm{y}_{t-1}+\cdots+\bm{C}_p\bm{y}_{t-p}+\bm{H}_0^{-1}\bm{\zeta}_t\\
& =\bm{d}_t+ \bm{\varepsilon}_t+\bm{B}_1\bm{\varepsilon}_{t-1}+\bm{B}_2\bm{\varepsilon}_{t-2}+\cdots
\end{align*}

其中$ \bm{d}_t $表示$ \bm{y}_t $中的决定项，$ \bm{\varepsilon}_t=\bm{H}_0^{-1}\bm{\zeta}_t $,$ \bm{B}_s $可以递归得到，
\[ \bm{B}_s=\bm{C}_1\bm{B}_{s-1}+\bm{C}_2\bm{B}_{s-2}+\cdots+\bm{C}_p\bm{B}_{s-p},\hspace{2em}s= 1,2,\cdots \]
其中$ \bm{B}_0=\bm{I}_{k+m_\omega},\bm{B}_s=\bm{0},\text{for}\; s< 0 $。




\subsection{GVAR Toolbox中的设置}
需要哪个国家作为主导单元，就把该国的变量提取出来作为全局变量（？待验证），然后在设主导单元模型的变量时，要注意一下。
	\section{GVAR建模中的时变权重}
	
	

	
	
	